Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $45$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $5$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $6$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $8$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (14 - λ) ((43 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(43 - λ) (9 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (14 - λ) (43 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $43$ por $9$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $43$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.2

Resta $9 λ$ de $- 43 λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 48) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Resta $48$ de $387$ .

$p (λ) = (14 - λ) (- 52 λ + λ^{2} + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.3

Reordena $- 52 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (1 (9 - λ) - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $9 - λ$ por $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 12) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2

Resta $12$ de $9$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (1 \cdot 8 - 2 (43 - λ))$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 (43 - λ))$

Paso 5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 \cdot 43 - 2 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $43$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 - 2 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 + 2 λ)$

Paso 5.4.2.2

Resta $86$ de $8$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (- 78 + 2 λ)$

Paso 5.4.2.3

Reordena $- 78$ y $2 λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Expande $(14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 14 λ^{2} + 14 (- 52 λ) + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $- 52$ por $14$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $14$ por $339$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{2 + 1} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ \cdot λ - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 (λ \cdot λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 52$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.2.7

Multiplica $339$ por $- 1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.3

Suma $14 λ^{2}$ y $52 λ^{2}$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.4

Resta $339 λ$ de $- 728 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ) - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 45$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.7

Multiplica $- 45$ por $- 3$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ - 78)$

Paso 5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ) + 5 \cdot - 78$

Paso 5.5.1.9

Multiplica $2$ por $5$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ + 5 \cdot - 78$

Paso 5.5.1.10

Multiplica $5$ por $- 78$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ - 390$

Paso 5.5.2

Suma $- 1067 λ$ y $45 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1022 λ + 4746 - λ^{3} + 135 + 10 λ - 390$

Paso 5.5.3

Suma $- 1022 λ$ y $10 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ + 4746 - λ^{3} + 135 - 390$

Paso 5.5.4

Suma $4746$ y $135$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4881 - 390$

Paso 5.5.5

Resta $390$ de $4881$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4491$

Paso 5.5.6

Mueve $- 1012 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - λ^{3} - 1012 λ + 4491$

Paso 5.5.7

Reordena $66 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491 = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Factoriza $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 7.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

$q = \pm 1$

Paso 7.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

Paso 7.1.3

Sustituye $9$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $9$ es una raíz del polinomio.

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Paso 7.1.3.1

Sustituye $9$ en el polinomio.

$- 9^{3} + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Paso 7.1.3.2

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Paso 7.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $729$ .

$- 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Paso 7.1.3.4

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$- 729 + 66 \cdot 81 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Paso 7.1.3.5

Multiplica $66$ por $81$ .

$- 729 + 5346 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Paso 7.1.3.6

Suma $- 729$ y $5346$ .

$4617 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Paso 7.1.3.7

Multiplica $- 1012$ por $9$ .

$4617 - 9108 + 4491$

Paso 7.1.3.8

Resta $9108$ de $4617$ .

$- 4491 + 4491$

Paso 7.1.3.9

Suma $- 4491$ y $4491$ .

$0$

Paso 7.1.4

Como $9$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 9$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491}{λ - 9}$

Paso 7.1.5

Divide $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ por $λ - 9$ .

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Paso 7.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$9$

$λ^{3}$

$66 λ^{2}$

$1012 λ$

$4491$

Paso 7.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$

Paso 7.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$

Paso 7.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- λ^{3} + 9 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$

Paso 7.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$

Paso 7.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

Paso 7.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $57 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

Paso 7.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					+	$57 λ^{2}$	-	$513 λ$

Paso 7.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $57 λ^{2} - 513 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$

Paso 7.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$

Paso 7.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Paso 7.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 499 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Paso 7.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Paso 7.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 499 λ + 4491$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$

Paso 7.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$
										$0$

Paso 7.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- λ^{2} + 57 λ - 499$

Paso 7.1.6

Escribe $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ como un conjunto de factores.

$(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 9 = 0$

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

Paso 7.3

Establece $λ - 9$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.3.1

Establece $λ - 9$ igual a $0$ .

$λ - 9 = 0$

Paso 7.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 9$

Paso 7.4

Establece $- λ^{2} + 57 λ - 499$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece $- λ^{2} + 57 λ - 499$ igual a $0$ .

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$ en $λ$ .

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Paso 7.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4.2.2

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 57$ y $c = - 499$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 499)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica.

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Paso 7.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.1.1

Eleva $57$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 4 \cdot - 1 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 499$ .

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 + 4 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 499$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 1996}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.4.2.3.1.3

Resta $1996$ de $3249$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{2 \cdot - 1}$

Paso 7.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$

Paso 7.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$ .

$λ = \frac{57 \pm \sqrt{1253}}{2}$

Paso 7.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$ verdadera.

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Forma decimal:

$λ = 9, 46.19887002 \dots, 10.80112997 \dots$